mercredi 10 septembre 2014

Dérivée d'un polynôme et d'une fonction (2ème partie).

Dans le dernier article nous avons calculé de façon exacte la dérivée d'un polynôme.
Ici nous allons utiliser la définition de la dérivée d'une fonction en une valeur donnée.







Le programme suivant entre en mémoire le polynôme P(X) = 8X^4 - 3X^3 + X^2 + 2X - 8 puis il calcule la valeur approchée de la dérivée en utilisant la variable entrée en D002.

PGRM TOP
# Le Label P correspond à la saisie du polynôme.
# Début de la saisie du polynôme en mode RPN.
P001 LBL P
P002 RCL X
P003 4
P004 Y^X
P005 8
P006 x
P007 RCL X
P008 3
P009 Y^X
P010 -3
P011 x
P012 +
P013 RCL X
P014 2
P015 Y^X
P016 +
P017 RCL X
P018 2
P019 x
P020 +
P021 -8
P022 +
P023 RTN
# Fin de la saisie du polynôme.
# le Label D correspond au programme de dérivation.
D001 LBL D
# On entre la valeur en laquelle la dérivée sera calculée.
D002 INPUT X
# Le programme va calculer P(X).
D003 XEQ P001
D004 STO T
D005 0.000001
D006 STO + X
# Le programme va calculer P(X+h) avec h=0.000001.
D007 XEQ P001
D008 RCL T
D009 -
D010 0.000001
D011 ÷
D012 X<> T
D013 CLSTK
D014 X<> T
D015 RTN

Lancez le programme en faisant XEQ D ENTER.
Entrez -2 à l'invitation X? puis continuez en tapant R/S.

Sur la ligne basse de l'écran sera alors affichée -294 soit la valeur de P'(-2), la valeur de la dérivée du polynôme P en X=-2.

Autre exemple: Si vous voulez entrer en mémoire le polynôme P(X) = -9X^5 + 3X^3 - 2X, vous devrez saisir P de cette façon:

PGRM TOP
# Le Label P correspond à la saisie du polynôme.
# Début de la saisie du polynôme en mode RPN.
P001 LBL P
P002 RCL X
P003 5
P004 Y^X
P005 -9
P006 x
P007 RCL X
P008 3
P009 Y^X
P010 3
P011 x
P012 +
P013 RCL X
P014 -2
P015 x
P016 +
P017 RTN
# Fin de la saisie du polynôme.
# La suite du programme est la recopie exacte du Label D au dessus.

Lancez le programme en faisant XEQ D ENTER.
Entrez 3 à l'invitation X? puis continuez en tapant R/S.

Sur la ligne basse de l'écran sera alors affichée -3566 soit la valeur de P'(3), la valeur de la dérivée du polynôme P en X=3.

Relancez le programme et cette fois-ci entrez -2 à l'invitation X? puis continuez avec R/S.

Sur la ligne basse de l'écran sera alors affichée -685.999 soit une valeur approchée de P'(-2), la valeur de la dérivée du polynôme P en X=-2.

La valeur exacte de P'(-2) est en fait -686 comme vous pourrez le constater avec le programme précédemment présenté.

Nota Bene: Il est possible de calculer avec ce programme la dérivée de n'importe quelle fonction si elle dérivable en la valeur entrée. Prenons par exemple la fonction F(X) = (Sin(2X))^2 qui a pour dérivée F'(X) = 4Sin(2x)Cos(2x).

PGRM TOP
# Le Label P correspond à la saisie de la fonction F.
# Début de la saisie de la fonction en mode RPN.
P001 LBL P
P002 RCL X
P003 2
P004 x
P005 SIN
P006 x^2
P007 RTN
# Fin de la saisie de la fonction.
# La suite du programme est la recopie exacte du Label D au dessus.

Lancez le programme en faisant XEQ D ENTER.
Entrez 1 à l'invitation X? puis continuez en tapant R/S.

Sur la ligne basse de l'écran sera alors affichée -1.513608 soit une valeur approchée de F'(1), la valeur de la dérivée de la fonction F en X=1.

La valeur exacte de F'(1) est 4.Sin(2).Cos(2) soit -1,513605.

A bientôt :)

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